Robuste Kalibrierung lokaler Volatilitätsmodelle

Robuste Kalibrierung lokaler Volatilitätsmodelle

Bruno Dupire’s Modell der lokalen Volatilität

Für das sogenannte lokale Volatilitätsmodell hat Bruno Dupire eine geschlossene Lösung abgeleitet, die bei naiver Anwendung zu klippenartigen Volatilitätsflächen führt. Daher muss ein robustes und schnelles Verfahren zur Parameterkalibrierung gefunden werden.

Kauf- und/oder Verkaufsoptionen auf liquide Vermögenswerte oder Aktienindizes werden für verschiedene Verfallsdaten und für eine Reihe von Strike Prices gehandelt. Dabei zeigt sich, dass die gehandelten Optionspreise nicht zur konstanten Volatilität von Black-Scholes passen. Vielmehr weisen sie sogenannte „Volatility Smiles“ oder „Volatility Skewnesses“ auf. Ein Modell, für das ein solches Verhalten ohne stochastische Volatilität ermittelt werden kann, ist die lokale Volatilität. Bruno Dupire zeigte bereits im Jahr 1994 Folgendes auf: Wenn diese Kaufpreise als Funktion zur Verfügung stehen, dann muss die Volatilität einer komplexen Funktion genügen, deren naive Inversion extrem instabile Ergebnisse liefert.

Mathematisch gesehen sollten zwei gegensätzliche Ziele erreicht werden: einerseits die bestmögliche Anpassung an die gehandelten Optionsdaten („Modellpreise nahe an den Marktpreisen“), andererseits eine möglichst glatte lokale Volatilitätsoberfläche. Die nichtlineare Tikhonov-Regularisierung mit einer geeigneten Wahl der Regularisierungsparameter erfüllt die Anforderung an ein schnelles und robustes Identifikationsverfahren.

Weitere Literatur zum Thema: Egger, Engl: Tikhonov regularization applied to the inverse problem of option pricing: convergence analysis and rates, Inverse Problems 21, 1027-1045, 2005.